نزاع فرگه و هیلبرت: روش صحیح پرداختن به فراقضیه‌ها در دستگاه‌های اصل موضوعی

نوع مقاله: ترجمه و نقد

نویسنده

استادیار پژوهشکدة مطالعات بنیادین علم و فناوری، دانشگاه شهید بهشتی

چکیده

«منطق به صورت نامحدود ... صوری نیست. اگر چنین بود، بدون محتوا می‌بود ... هیچ علمی کاملاً صوری نیست» (Frege, 1971:109).
در ۱۸۹۹، دیوید هیلبرت نظام اصلِ موضوعیِ منقحی برای هندسة اقلیدسی عرضه کرد و با اثبات مشروط فراقضیه‌های سازگاری و استقلال برای این نظام، راه‌حلی برای یکی از مسائل دیرپای ریاضیات (مشهور به مسئلة خطوط موازی) ارائه داد. گوتلوب فرگه، پایه‌گذار منطق صوری جدید، مخالفت‌های بنیادینی با رویکرد فرمالیستی هیلبرت و برهان‌های او برای فراقضیه‌های سازگاری و استقلال ابراز داشت. بررسی دلایل این مخالفت نشان می‌دهد که دیدگاه فرگه نسبت به صوری ‌بودن منطق و قضیه‌های فرانظریه‌ای به‌کلی متفاوت از دیدگاه پذیرفته‌شدة امروزی است. در این مقاله پس از شرح مختصر روش اثبات هیلبرت برای فراقضیه‌های سازگاری و استقلال و همین‌طور انتقادهای اصلی فرگه به آن، به روش پیش‌نهادی خود فرگه برای پرداختن به این مسائل اشاره خواهم کرد و سپس به این بحث خواهم پرداخت که چرا در ‌نهایت ریاضی‌دانان و منطق‌دانان، به پیروی از هیلبرت، به نکته‌سنجی‌های فرگه وقعی ننهادند و منطق جدید با معرفی نظریة مدل گام در راهی نهاد که از نگاه فرگه به هیچ وجه قابل قبول نبود. در پایان نتیجه‌ای که از این بررسی می‌گیرم این است که در ‌واقع، فرگه و هیلبرت، هر یک بر اساس اندیشه‌ها و علایق خود، برداشت‌های متفاوتی از مفاهیمی مانند سازگاری و استقلال در دستگاه‌های اصل موضوعی داشته‌اند، جایی که فرگه به دنبال «سازگاری اندیشه‌ای» است هیلبرت صرفاً «سازگاری نحوی» را اثبات می‌کند. برداشت سخت‌گیرانة فرگه از مفهوم سازگاری و استقلال دامنة پژوهش‌های بعدی را به‌شدت محدود می‌ساخت، حال آن‌که برداشت هیلبرتی امکانات وسیع و جذابی برای انجام بحث‌های فرانظریه‌ای فراهم می‌آورد.
 

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Conflict of Frege and Hilbert; The Right Way to Deal with Meta-Theorems in Axiomatic Systems

نویسنده [English]

  • Meysam Mohammad Amini
Assistant Professor, Research Center for Science and Technology Fundamental Studies, Shahid Beheshti University
چکیده [English]

 
In 1899, David Hilbert offers an articulated axiomatic system for Euclidean geometry and, demonstrating conditionally the meta-theorems of compatibility and independence for this system, proposes a solution to one of the enduring problems of mathematics (known as the problem of parallel lines). Gottlob Frege, the founder of new formal logic, fundamentally disagreed with Hilbert’s formalistic approach and his proofs for the meta-theorems of compatibility and independence. The reasons for the opposition show that Frege's view on formality of logic and meta-theorems of compatibility and independence is very different from today's point of view.
In this paper, after briefly discussing Hilbert’s method in demonstrating meta-theorems of compatibility and independence, and also the main Frege’s objections toward it, I will indicate to Frege’s own method dealing with these issues, and then discuss why eventually mathematicians and logicians, following Hilbert, ignored Frege’s remarks and modern logic, proposing a model theory, stepped on a road which was for Frege a wrong way.
 
 
 
 

کلیدواژه‌ها [English]

  • : axiomatic system
  • met-theory
  • meta-theorem of independence
  • meta-theorem of compatibility
  • conceptual analysis