نوع مقاله : پژوهشی
نویسنده
عضو هیات علمی، ریاضی، گروه علوم پایه، دانشکده برق و علوم پایه، دانشگاه صنعتی اراک
چکیده
از ابتدای پیدایش منطق جدید، پیوندهای بنیادی بین منطق و شاخه‌های مختلف ریاضیات ایجاد شده است که منجر به حل مسایلی در ریاضیات و بلعکس حل مسائل بنیانی در خود منطق گردیده است. یکی از چالش‌های روش منطقی در مطالعه ساختارهای ریاضی عدم امکان مطالعه بعضی از ساختارهای مهم ریاضیات، از جمله ساختارهای موجود در آنالیز، در قالب زبان و منطق مرتبه اول میباشد. هدف اصلی این مقاله معرفی منطقی مناسب برای مطالعه این ساختارها و سپس حل مسائلی در آنالیز با استفاده از ابزارهای منطقی است. در ابتدای این مقاله مروری کوتاه بر منطق‌های مناسب برای مطالعه ساختارهای موجود در آنالیز ریاضی خواهیم داشت و برخی از مهمترین کاربردهای منطق در آنالیز را بیان خواهیم کرد. سپس یکی از دستاوردهای اخیر که کاربردی مهم از منطق در آنالیز میباشد را ارائه و اثبات می‌کنیم. به‌ویژه، مفهوم تعریف‌پذیری در منطق و پیوند آن با آنالیز ریاضی را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.
کلیدواژه‌ها
عنوان مقاله [English]
Applications of Logic to Analysis
نویسنده [English]
- Karim Khanaki
Department of science, Arak University of Technology, Arak, Iran
چکیده [English]
From the beginning of the emergence of new logic, fundamental links have been established between logic and various branches of mathematics, which led to solving mathematical problems and, conversely, solving basic problems in logic itself. One of the challenges of the logical methods in the study of mathematical structures is the impossibility of studying some of the important structures of mathematics, including analytic structures, in the framework of the first-order language and logic. The main purpose of this paper is to provide a suitable logic for studying these structures and then solving problems in the analysis using logical tools. At the beginning of this article, we will briefly review some suitable logics for studying the structures in mathematical analysis, and will outline some of the most important uses of logic in analysis. Then we present and prove one of the recent achievements, which is an important application of logic in analysis. In particular, we study the concept of definability in logic and its relation with mathematical analysis.
کلیدواژه‌ها [English]
- Continuous logic
- ultraproduct
- definability
- finitely representable
- type space
Bagheri S.M., and Pourmahdian M. (2009), The logic of integration, Arch. Math. Logic.48, 465-492.
Ben Yaacov I., Berenstein A., Henson C.W., and Usvyatsov A. (2008), Model theory for metric structures, Model theory with applications to algebra and analysis. Vol. 2, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 350, Cambridge Univ. Press, Cambridge, pp. 315–427.
Ben Yaacov I. and Usvyatsov A. (2010). Continuous first order logic and local stability. Trans.
Amer. Math. Soc., 362(10):5213-5259.
Bourgain J., Rosenthal H. P., and Schechtman G. (1981). An ordinal -index for Banach spaces, with application to complemented subspaces of . Ann. of Math. (2), 114(2):193-228.
Bretagnolle J., Dacunha-Castelle D., and Krivine J.-L. (1965/1966), Lois stables et espaces , Ann. Inst. H. Poincare Sect. B (N.S.) 2, 231–259.
Chang C.C. and Keisler H. J. (1966). Continuous model theory. Annals of Mathematics Studies, No. 58. Princeton Univ. Press, Princeton, N.J.
Figiel T. (1974), A short proof of Dvoretzky’s theorem, Séminaire d’analyse fonctionnelle (Polytechnique), exp. no23, p. 1-5
Gowers W. T. (1996) . A new dichotomy for Banach spaces. Geom. Funct. Anal., 6(6):1083-1093.
Heinrich S., Henson C. W., and Moore L. C. (1983), Elementary equivalence of L1-preduals. In Banach space theory and its applications (Bucharest, 1981), pages 79-90. Springer, Berlin.
Henson C. W. (1976), Nonstandard hulls of Banach spaces. Israel J. Math., 25(1-2):108-144, 1976.
Henson C. W. and Iovino J. (2002), Ultraproducts in analysis, Analysis and logic (C. Ward Henson, Jose Iovino, Alexander S. Kechris, and Edward Odell, eds.), London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 262, Cambridge University Press, Cambridge, 2002, Lectures from the mini-courses offered at the International Conference held at the University of Mons-Hainaut, Mons, August 25–29, 1997, Edited by Catherine Finet and Christian Michaux, pp. 1-110.
Iovino J. (1997), Defnability in functional analysis. J. Symbolic Logic, 62(2):493-505.
- Iovino J. (1999). Stable Banach spaces and Banach space structures. I. Fundamentals. In Models, algebras, and proofs (Bogota, 1995), pages 77-95. Dekker, New York.
Khanaki K. (2018), -categorical Banach spaces contain or , on Arxiv https://arxiv.org/abs/1603.08134, to appear.
Khanaki K. (2016), Amenability, extreme amenability, model-theoretic stability, and NIP in integral logic, Fundamenta Mathematicae 234, 253-286.
Khanaki K., and Amini M. (2012), Haar measure and integral logic, Math. Log. Quart.58, No. 4-5, 294-302.
Khanaki K., and Bagheri S.M. (2011), Random variables and integral logic, Math. Log. Quart.57, No. 5, 494-503.
Krivine, J.-L. (1976), Sous-espaces de dimensionnie des espaces de Banach reticules. Ann. of Math., 104:1-29.
Krivine, J.-L., and Maurey B. (1981), Espaces de Banach stables. Israel J. Math., 39(4):273-295.
Raynaud Y. (1981), Espaces de Banach superstables, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 292(14):671-673.
Stern J. (1976), Some applications of model theory in Banach space theory. Ann. Math. Logic, 9(1-2):49-121.
Tsirel'son, B. S. (1974), It is impossible to imbed or into an arbitrary Banach space, Funkcional. Anal. i Prilozen., 8(2): 57-60.
)