نوع مقاله : پژوهشی

نویسنده

دانشکده ریاضی، دانشگاه امیرکبیر

10.30465/lsj.2022.38229.1375

چکیده

تعامل منطق با نظریه‌های اندازه و احتمال همواره از رویکردهای مهم مطالعات در علم منطق و نظریه مدلها بوده است. در این راستا بسترهای منطقی متعددی برای تلفیق این شاخه‌ها بوجود آمده‌اند. منطق انتگرال نمونه‌ای مهم از آنهاست که در ابتدا توسط کیسلر و هوور معرفی و بررسی گردید و سپس در مقالات مختلف از جمله مقاله باقری-پورمهدیان مطالعه‌اش تکمیلتر و تبدیل به بستری منطقی مناسب کار با ساختارهایی که انتگرالگیری روی اندازه‌ها در آنها حائز اهمیت‌اند شد. همچنین توسط مفیدی-باقری بستری کلی‌تر برای کار با اپراتورهای گسترده‌تر از صرفا انتگرال به عنوان سور فراهم گردید. ضمنا در کاری موخرتر در ارتباط اندازه و منطق، در سال 2018 جنبه‌های مختلفی از رویکردهای سیستمهای دینامیکی به اندازه‌ها در نظریه مدل توسط مفیدی به چاپ رسید. یکی از ویژگیهای بستر منطقی باقری-پورمهدیان کرانداری آن است بدین معنا که همواره فرض می‌شود تعبیر روابط منطقی همگی توابعی کراندار‌اند. این ویژگی در کنار مزایایی از قبیل راحت‌شدن کار با روابط و اثبات قضایای فراضرب و فشردگی، محدودیتهای مهمی را در قدرت‌بیان، اصل‌بندی ساختارها و تعامل با ساختارهای متنوع ریاضیاتی ایجاد می‌کند. در این مقاله قصد داریم این محدودیت را رفع کرده، ورژنی تعمیم‌یافته و تقویت‌شده از قالب منطق انتگرال معرفی کنیم که تعبیر روابط بتوانند توابعی (نه-لزوما-کراندار) در فضاهایL^p باشند و نیز قضایای بنیادی فراضرب و فشردگی نیز با فرمی قویتر (و البته اثباتهایی با تکنیکهای جدید) برقرار باشند. با این تعمیم امکان تعامل بیشتر با فضاهایL^p و نیز متغیرهای تصادفی نه-لزوما-کراندار (در احتمال) که بخشهای مهمی از آنالیز و احتمالات هستند فراهم می‌گردد.

کلیدواژه‌ها

عنوان مقاله [English]

Logic, measures and unbounded integration logic

چکیده [English]

Interactions between logic, measure and probability theories have always possessed significant importance in logic and model-theory. In this regard, numerous logical frameworks were introduced to connect these subjects. Integration-logic is amongst important ones of them that was first introduced by Keisler and Hoover and then developed in various works such as Bagheri-Pourmahdian paper and turned into a suitable logical framework for working with structures equipped with measures and integration operator. Also in a paper by Mofidi-Bagheri, a more abstract framework for working with operators more general than integration was introduced. Moreover, in a more recent work on connections of logic and measures, different aspects of dynamical-systems and measures in model-theory was published by Mofidi in 2018. One of the characteristics of Bagher-Pourmahdian framework is its boundedness, i.e. it is assumed that interpretation of every relation is a bounded function. Despite some advantages of this assumption (such as simplifying working with relations and proving ultraproduct and compactness theorems), it causes substantial limitations in the expressive-power of logic and its ability to interact with various mathematical structures. In this paper, we aim to resolve this limitations by strengthening and generalizing the framework of integration-logic in a way that relations be interpreted with (not-necessarily bounded) functions in L^p-spaces and furthermore, showing that fundamental results of ultraproduct and compactness theorems still hold (of course with new proofs and more subtle techniques). This generalization can provide more interactions with structures such as L^p-spaces and (not-necessarily-bounded) random-variables which are central notions in analysis and statistics.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Unbounded integration logic
  • ultraproduct theorem
  • compactness theorem
  • L^p-spaces
Bagheri S.M, Pourmahdian M. (2009), The logic of integration, Arch. Math. Logic 48:465-492.
 
Fajardo S., Keisler H.J. (2002), Model theory of stochastic processes, Lecture Notes in Logic 14 ASL.
 
Folland G.B (1999), Real analysis, Modern techniques and their applications, second edition.
 
Hoover D.N (1978), Probability logic, Annals of Mathematical Logic 14, 287-313.
 
Keisler H.J. (1985), Probability quantifiers, in Model Theoretic Logic, edited by J. Barwise and S. Feferman, Springer-Verlag.
 
Mofidi, A. (2018), On some dynamical aspects of NIP theories, Arch. Math. Logic 57 (1-2) 37–71.
 
Mofidi, A. (2020), On partial cubes, well-graded families and their duals with some applications in graphs, Discrete Appl. Math, 283, 207–230.
 
Mofidi A, Bagheri S.M (2011), Quantified universes and ultraproduct, math. logic quarterly.