منطق‌پژوهی

چکیده کتاب فلسفۀ ریاضی تألیف لینبو یکی از کتاب‌های جدید و مفید در این زمینه است.‌ این کتاب برای دانشجویان کارشناسی و‌کارشناسی ارشد فلسفه و ریاضی نوشته شده است. یکی از جنبه‌های قابل‌توجه این کتاب، توجه هم‌زمان به دیدگاه‌های فلسفی کلاسیک و جدید به ریاضیات است. متأسفانه ترجمۀ فارسی این کتاب حاوی اشتباهات و نارسایی‌های فراوانی است که فهم موضوع از طریق آن را تقریباً ناممکن می‌کند. در این نوشته به بررسی گزینشی این ترجمه می‌پردازیم تا تنها برخی از نارسایی‌های یادشده را نشان دهیم. به نظر می‌رسد که جامعۀ علمی و فلسفی می‌بایست مسئولیت‌پذیری بیشتری در نقد ترجمه‌های موجود و فراهم آوردن زمینۀ ترجمه‌های مناسب از خود نشان دهد. در کنار بررسی ترجمه، نگاهی هم‌ به برخی از مطالب کتاب خواهیم‌ داشت. آدرس کتاب اصلی و ترجمۀ آن به قرار زیر است:
لینبو، اویستان (1399). فلسفۀ ریاضیات، ترجمۀ محمد حسین وقار، انتشارات اطلاعات.
Linnebo, Øystein (2017). Philosophy of Mathematics (Princeton Foundations of Contemporary Philosophy), Princeton University Press.

چکیده در سال‌های اخیر، برخی از کتاب‌های فلسفۀ ریاضی به فارسی ترجمه شده‌اند. متأسفانه در برخی موارد، این ترجمه‌ها نارسا و حتی گمراه‌کننده می‌باشند. به نظر می‌رسد که بررسی و نقد این ترجمه‌ها می‌تواند به اصلاح و بهبود این وضعیت کمک کند. در این نوشته پس از مروری مختصر بر کتاب فلسفۀ ریاضی تألیف کولی‌ون، به مروری گزینشی بر ترجمۀ این کتاب می‌پردازیم. کتاب فلسفۀ ریاضی کولی‌ون متنی مقدماتی در زمینۀ فلسفۀ ریاضی است. این کتاب برای دوره‌های کارشناسی و کارشناسی ارشد در دانشگاه‌های استرالیا و ایالات متحدۀ آمریکا نوشته شده است. هرچند مخاطبان اصلی این کتاب دانشجویان فلسفه هستند، اما به نظر می‌رسد که پیش‌نیاز فلسفی زیادی نمی‌طلبد و برای دانشجویان ریاضی نیز قابل استفاده است. مشخصات ترجمه و متن اصلی به قرار زیر است:
1. کولی‌ون، مارک (1397). درآمدی بر فلسفۀ ریاضی معاصر، ترجمۀ کامران شهبازی، تهران: نقد فرهنگ.
2. Mark Colyvan (2012). An Introduction to the Philosophy of Mathematics.

چکیده در این مقاله به گزاره‌های مطلقاً اثبات‌ناپذیر از دیدگاه شهودگرایی براوئری می‌پردازیم. بنا به تعریف براوئر، یک گزاره مطلقاً اثبات‌ناپذیر است هرگاه ذهن آفریننده به‌عنوان ریاضیدانی ایده‌آل اثباتی داشته باشد مبنی بر اینکه هم خود آن گزاره و هم نقیض آن از منظر ساختی اثبات‌ناپذیر است. براوئر نشان داده است که وجود چنین گزاره‌هایی ممکن نیست. مارک فان آتن در کتاب خود در مورد براوئر و شهودگرایی، اثبات کوتاه براوئر در این مورد را بیان کرده و شرح و تفصیل داده است. مترجم فارسی این کتاب نیز به دو شکل مختلف این اثبات را بازسازی کرده و توضیح داده‌ است. در این مقاله بازسازی مناسب‌تری از اثبات براوئر ارائه می‌دهیم. در ادامه، به کار گودل در زمینۀ گسترش حکم براوئر از منطق گزاره‌ها به منطق محمولات مرتبۀ اول خواهیم پرداخت. به‌علاوه اشاره خواهیم کرد که این‌گونه صوری‌سازی‌های ایده‌های شهودگرایانه در زبان منطق، نمی‌توانند حق مطلب را درمورد ایده‌های براوئر ادا کنند.

چکیده ابتدا، در پرتو آراء ففرمن، به بررسی دوگانۀ گودل می‌پردازیم مبنی بر اینکه یا توانایی‌های ذهن انسان از هر ماشین متناهی فراتر است، و یا معادلات ریاضی از نوع دیوفانتی وجود دارند که به طور مطلق حل‌ناپذیر هستند. سپس برهان پاتنم را بررسی می‌کنیم مبنی بر این که اگر توانایی علمی ذهن انسان را بتوان توسط یک ماشین تورینگ با توانایی تهیۀ سیاهه‌ای از نتایج علمی شبیه‌سازی کرد، این ماشین جمله‌ای که این توانایی را بیان می‌کند را به عنوان خروجی ارائه نخواهد کرد. در تلاش برای فهم بهتر این برهان، آن را در زبان منطق وجهی بازسازی می‌کنیم. در ادامه، به امکان رایانه‌های خارق‌العاده برای انجام تعدادی بی‌شمار عمل پایه‌ای محاسباتی در زمان متناهی می‌پردازیم. این امکانی است که اخیراً بر اساس نظریه‌های جدید فیزیکی مطرح شده است. استدلال می‌کنیم با فرض تحقق چنین امکانی، حساب مرتبۀ اول متعین خواهد بود، به این معنی که صادق یا کاذب بودن هر جملۀ حسابی توضیح‌پذیر خواهد بود.

چکیده نظریة مدل محدود را می‌توان بخشی از نظریة مدل دانست که هدف آن بررسی مفاهیم و نتایج نظریة مدل در یک زبان شامل یک رابطة ترتیبی است در حالتی که سورهای مورد بحث همگی از نوع محدود هستند. از نظریة مدل محدود می‌توان برای مطالعة مسائل مربوط به نظریة حساب محدود استفاده کرد. حساب محدود را می‌توان زیرنظریه‌ای از حساب مرتبة اول پئانو در زبانی گسترش‌یافته دانست. خود حساب محدود، کاربردهای فراوانی در نظریة پیچیدگی محاسبات دارد. با تعریف و مطالعة مفاهیم پایه‌ای نظریة مدل در حالت محدود مانند حذف سور محدود و مدل‌ کامل محدود، نتایج جالبی در نظریة مدل با کاربردهایی در نظریۀ پیچیدگی محاسبه و حساب محدود به دست آمده است. در این مقاله، ضمن مروری بر نتایج موجود در این زمینه، برخی مفاهیم و نتایج جدید را در این راستا ارائه می‌کنیم و ارتباط‌های آن‌ها را با برخی مسائل بنیادی در نظریة پیچیدگی محاسبه مطالعه می‌کنیم.

چکیده در ابتدا برخی موضوع‌های بحث‌ برانگیز در حوزۀ منطق ریاضی را بررسی می‌کنیم. این‌ها موضوع‌هایی هستند که معمولاً غیرمتخصصان را به دردسر و‌ گاهی اشتباه می‌اندازند. موضوع‌های عمده‌ای که در این راستا به آن‌ها خواهیم پرداخت عبارتند از: تعریف صدق تارسکی، قضیۀ تعریف‌ناپذیری صدق تارسکی، قضیۀ تمامیت گودل و قضیه‌های ناتمامیت گودل، منطق مرتبۀ اول و ‌مرتبۀ دوم. در ادامه، به معرفی برخی منطق‌های غیرکلاسیک و جایگاه آن‌ها در منطق فلسفی و همچنین منطق در علوم کامپیوتر می‌پردازیم. افزون بر آن، برخی موضوع‌های فلسفی مرتبط به منطق را به بحث می‌گذاریم. از زمرۀ این موضوع‌ها، پرسش از چیستی منطق، تفاوت منطق و دستگاه منطقی و چالش یگانه‌گرایی در مقابل کثرت‌گرایی در انتخاب منطق است. با تفکیک منطق از دستگاه منطقی، از این دیدگاه دفاع خواهیم کرد که منطق ریاضی به عنوان بخشی از ریاضیات، تنها می‌بایست متعهد به رعایت استانداردهای خود ریاضیات باشد. در این راستا، هر یک از دستگاه‌های منطق غیرکلاسیک که این استانداردها را رعایت کند، مشروعیت خواهد داشت.